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一、考查目標

考生應按本大綱的要求了解或理解掌握“高等數學”中函數、極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學和多元函數微積分初步、無窮級數、空間解析幾何初步、常微分方程的基本概念與基本理論；要求考生系統掌握該課程的基本知識、基礎理論和基本方法。同時應注意各部分知識結構及知識的內在聯系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地判斷和證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決相關的實際問題。

二、考試形式與試卷結構

（一）試卷成績及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷內容結構

各部分內容所占分值為：

1.函數、極限與連續約15分

2.導數與微分、微分中值定理與導數的應用約30分

3.不定積分、定積分約30分

4.無窮級數約15分

5.空間解析幾何約6分

6.多元函數微分法及其應用約18分

7.重積分及其應用約18分

8.常微分方程約18分

（四）試卷題型結構

1.填空題：10小題，每小題3分，共30分

2.計算題：8大題，每大題15分，共120分

三、考查范圍

（一）函數

1. 函數

數集、區間和鄰域；函數概念；函數表示法；建立函數關系。

2. 函數的一些簡單性態

函數的有界性；函數的單調性；函數的奇偶性；函數的周期性。

3. 反函數與復合函數

反函數；復合函數。

4. 初等函數

基本初等函數及其圖形；初等函數；初等函數的作圖。

（二）極限與連續

1. 數列及其極限

數列；數列極限；收斂數列的性質與運算法則。

2. 函數極限

自變量趨于無窮大時的函數極限；自變量趨于有限值時的函數極限；函數極限的性質；無窮小量及其運算。

3. 極限的運算和兩個重要極限

極限的四則運算；兩個重要極限；無窮小量的比較。

4. 連續函數

函數的連續性；間斷點及其分類；連續函數的運算和初等函數的連續性；閉區間上連續函數的性質。

（三）導數與微分

1. 導數概念

導數的定義；導函數；導數的意義；可導性和連續性的關系。

2. 求導法則

導數的四則運算；反函數的導數；復合函數的導數；基本初等函數的導數公式與求導法則；導數應用。

3. 隱函數、參變量函數的導數和高階導數

隱函數的導數；參變量函數的導數；高階導數。

4. 微分

微分概念；微分的基本公式與運算法則；微分在近似計算中的應用。

（四）微分中值定理與導數的應用

1. 微分中值定理

2. 不定式極限

型不定式極限；

型不定式極限；其他類型不定式極限。

函數單調性的判別法；函數極值的判別法；函數的最大值與最小值。

4. 函數圖形的討論

曲線的凸性與拐點；曲線的漸近線；函數作圖。

（五）不定積分

1. 不定積分概念與基本積分公式

原函數與不定積分；基本積分表；不定積分的線性性質。

2. 換元積分法

第一類換元積分法：第二類換元積分法。

3. 分部積分法

4. 特殊類型初等函數的不定積分

有理函數的不定積分；三角函數有理式的不定積分；簡單無理函數的不定積分。

（六）定積分

1. 定積分概念

定積分的定義；定積分的幾何意義。

2. 定積分的基本性質

3. 牛頓－萊布尼茨公式

積分上限函數及其導數；牛頓－萊布尼茨公式。

4. 定積分的換元積分法與分部積分法

定積分的換元積分法；定積分的分部積分法。

5. 定積分的近似計算

矩形法；梯形法。

6. 定積分的應用

平面圖形的面積；已知平行截面面積的立體和旋轉體的體積；平面曲線的弧長；旋轉曲面面積；定積分在物理學等方面的應用。

7. 廣義積分

無限區間上的廣義積分；無界函數的廣義積分。

(七)無窮級數

1. 數項級數

無窮級數的概念；收斂級數的性質。

2. 正項級數

正項級數的收斂準則；比較判別法；比式判別法與根式判別法。

3. 一般項級數

交錯級數；級數的絕對收斂與條件收斂。

4. 冪級數

函數項級數的概念；冪級數及其收斂半徑；冪級數的運算性質。

5. 函數的冪級數展開式

泰勒級數；泰勒中值定理；初等函數的冪級數展開式；近似計算

(八) 空間解析幾何

1. 空間直角坐標系

空間直角坐標系；空間兩點之間的距離。

2. 向量及其線性運算

向量概念；向量的線性運算；向量的坐標與分解。

3. 向量的數量積與向量積

向量的數量積；向量的向量積。

4. 平面與空間直線

平面方程；空間直線方程。

5. 曲面與空間曲線

球面方程；柱面方程；錐面方程；旋轉面方程；橢球面；單葉雙曲面和雙葉雙曲面；橢圓拋物面和雙曲拋物面；空間曲線。

(九) 多元函數微分法及其應用

1. 多元函數

多元函數的概念；二元函數的幾何表示；多元函數的極限；多元函數的連續性。

2. 多元函數的偏導數與全微分

偏導數；高階偏導數；全微分；全微分在近似計算中的應用。

3. 復合函數和隱函數的微分法

復合函數的偏導數；隱函數的微分法。

4. 多元函數微分學的幾何應用

空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線。

5. 多元函數的極值

多元函數的極值。

(十) 重積分及其應用

1. 重積分的概念與性質

二重積分的概念；可積性條件與二重積分的性質；三重積分的概念和性質。

2. 二重積分的計算

化二重積分為累次積分；在極坐標系中計算二重積分。

3. 三重積分的計算

化三重積分為累次積分。

4. 重積分的應用

曲面的面積；物體的重心。

(十一) 常微分方程

1. 一階微分方程

微分方程的一般概念；可分離變量型微分方程；齊次型微分方程；一階線性微分方程；一階微分方程應用舉例。

2. 二階微分方程

可降階的微分方程；二階線性微分方程解的性質；二階常系數線性齊次方程的解；二階常系數線性非齊次方程的解。

四、主要參考書

華東師范大學數學系編：《高等數學（上冊）》、《高等數學（下冊）》，華東師范大學出版社1999年2月第一版（2002年6月第四次印刷）。

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