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蘇州科技學院碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱

一、本大綱適用于報考蘇州科技學院數學專業的碩士研究生入學考試。主要考核數學分析課程的基本概念、基本理論、基本方法。

二、考試內容與要求

(一) 實數集與函數

1、實數：實數的概念，實數的性質，絕對值與不等式;

2、數集、確界原理：區間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理;

3、函數概念：函數的定義，函數的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數；

4、具有某些特征的函數：有界函數，單調函數，奇函數與偶函數，周期函數。

要求：了解數學的發展史與實數的概念，理解絕對值不等式的性質，會解絕對值不等式；弄清區間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數集的確界；掌握函數的定義及函數的表示法，了解函數的運算；理解和掌握一些特殊類型的函數。

(二) 數列極限

1、極限概念；

2、收斂數列的性質：唯一性，有界性，保號性，單調性；

3、數列極限存在的條件：單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則。

要求：逐步透徹理解和掌握數列極限的概念；掌握并能運用e-N語言處理極限問題；掌握收斂數列的基本性質和數列極限的存在條件(單調有界函數和迫斂性定理)，并能運用；了解數列極限柯西準則,了解子列的概念及其與數列極限的關系；了解無窮小數列的概念及其與數列極限的關系.

(三) 函數極限

1、函數極限的概念，單側極限的概念；

2、函數極限的性質：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；

3、函數極限存在的條件：歸結原則（Heine定理），柯西準則；

4、兩個重要極限；

5、無窮小量與無窮大量，階的比較。

要求：理解和掌握函數極限的概念；掌握并能應用e-d, e-X語言處理極限問題；了解函數的單側極限，函數極限的柯西準則；掌握函數極限的性質和歸結原則；熟練掌握兩個重要極限來處理極限問題。

(四) 函數連續

1、函數連續的概念：一點連續的定義，區間連續的定義，單側連續的定義，間斷點及其分類；

2、連續函數的性質：局部性質及運算，閉區間上連續函數的性質（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續性），復合函數的連續性，反函數的連續性；

3、初等函數的連續性。

要求：理解與掌握一元函數連續性、一致連續性的定義及其證明，理解與掌握函數間斷點及其分類，連續函數的局部性質；理解單側連續的概念；能正確敘述和簡單應用閉區間上連續函數的性質；了解反函數的連續性，理解復合函數的連續性，初等函數的連續性。

（五） 導數與微分

1、導數概念：導數的定義、單側導數、導函數、導數的幾何意義；

2、求導法則：導數公式、導數的運算(四則運算)、求導法則（反函數的求導法則，復合函數的求導法則，隱函數的求導法則，參數方程的求導法則）；

3、微分：微分的定義，微分的運算法則，微分的應用；

4、高階導數與高階微分。

要求：理解和掌握導數與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求函數的導數；理解單側導數、可導性與連續性的關系，高階導數的求法；了解導數的幾何應用，微分在近似計算中的應用。

（六） 微分學基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的內容、證明及其應用；了解泰勒公式及在近似計算中的應用，能夠把某些函數按泰勒公式展開；能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限

（七） 導數的應用

1、函數的單調性與極值；

2、函數凹凸性與拐點.

要求：了解和掌握函數的某些特性(單調性、極值與最值、凹凸性、拐點)及其判斷方法，能利用函數的特性解決相關的實際問題。

（八） 實數完備性定理及應用

1、實數完備性六個等價定理：閉區間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理；

2、閉區間上連續函數整體性質的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續性定理的證明；

3、上、下極限。

要求：了解實數連續性的幾個定理和閉區間上連續函數的性質的證明；理解聚點的概念，上、下極限的概念。

（九） 不定積分

1、不定積分概念；

2、換元積分法與分部積分法；

3、幾類可化為有理函數的積分；

要求：理解原函數和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。

（十） 定積分

1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數可積的必要條件；

2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達布上和與達布下和，可積函數類(連續函數，只有有限個間斷點的有界函數，單調函數)；

3、微積分學基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

4、非正常積分：無窮積分收斂與發散的概念，審斂法（柯西準則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發散的概念，收斂判別法。

要求：理解定積分概念及函數可積的條件；熟悉一些可積分函數類，會一些較簡單的可積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質；能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。

（十一） 定積分的應用

1、定積分的幾何應用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數的立體體積，旋轉體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；

2、定積分在物理上的應用：功、液體壓力、引力。

要求：重點掌握定積分的幾何應用；掌握定積分在物理上的應用；在理解并掌握"微元法"。

（十二） 數項級數

1、級數的斂散性：無窮級數收斂，發散等概念，柯西準則，收斂級數的基本性質；

2、正項級數：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

3、一般項級數：交錯級數與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解無窮級數的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數的性質；能夠應用正項級數與任意項級數的斂散性判別法判斷級數的斂散性；熟悉幾何級數調和級數與p級數。

（十三） 函數項級數

1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優級數判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

2、一致收斂的函數列與函數項級數的性質（連續性，可積性，可微性）。

要求：掌握收斂域、極限函數與和函數一致斂等概念；掌握極限函數與和函數的分析性質(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數項級數與函數列的一致收斂。

（十四） 冪級數

1、冪級數：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質；

2、幾種常見初等函數的冪級數展開與泰勒定理。

要求：了解冪級數，函數的冪級數及函數的可展成冪級數等概念；掌握冪級數的性質；會求冪級數的收斂半徑與一些冪級數的收斂域；會把一些函數展開成冪級數，包括會用間接展開法求函數的泰勒展開式

（十五） 付里葉級數

1、付里葉級數：三角函數與正交函數系, 付里葉級數與傅里葉系數, 以２ 為周期函數的付里葉級數, 收斂定理；

2、以2L為周期的付里葉級數；

3、收斂定理的證明。

要求：理解三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數的概念；掌握傅里葉級數收斂性判別法；能將一些函數展開成傅里葉級數；了解收斂定理的證明。

（十六） 多元函數極限與連續

1、平面點集與多元函數的概念；

2、二元函數的極限、累次極限；

3、二元函數的連續性：二元函數的連續性概念、連續函數的局部性質及初等函數連續性。

要求：理解平面點集、多元函數的基本概念；理解二元函數的極限、累次極限、連續性概念，會計算一些簡單的二元函數極限；了解閉區間套定理，有限覆蓋定理，多元連續函數的性質。

（十七） 多元函數的微分學

1、可微性：偏導數的概念 ，偏導數的幾何意義，偏導數與連續性；全微分概念；連續性與可微性，偏導數與可微性；

2、多元復合函數微分法及求導公式；

3、方向導數與梯度；

4、泰勒定理與極值。

要求：理解并掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數及極值等概念及其計算；弄清全微分、偏導數、連續之間的關系；了解泰勒公式；會求函數的極值、最值。

（十八） 隱函數定理及其應用

1、隱函數：隱函數的概念，隱函數的定理，隱函數求導舉例；

2、隱函數組：隱函數組存在定理，反函數組與坐標變換，雅可比行列式；

3、幾何應用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

要求：了解隱函數的概念及隱函數的存在定理，會求隱函數的導數；了解隱函數組的概念及隱函數組定理，會求隱函數組的偏導數；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；了解條件極值概念及求法。

（十九） 重積分

1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數，二重積分的性質；

2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標變換，一般變換）；

3、含參變量的積分；

4、三重積分計算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換）；

5、重積分應用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉動慣量；

6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數項級數一致收斂性的關系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質；

7、歐拉積分：格馬函數及其性質,貝塔函數及其性質。

要求：了解含參變量定積分的概念與性質；熟練掌握二重、三重積分的概念、性質、計算及基本應用；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；理解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理，并掌握它們的應用；了解歐拉積分。

（二十） 曲線積分與曲面積分

1、第一型曲線積分的概念、性質與計算，第一型曲面積分的的概念、性質與計算；

2、第二型曲線積分的概念、性質與計算，變力作功，兩類曲線積分的聯系；

3、格林公式，曲線積分與路線的無關性, 全函數；

4、曲面的側，第二型曲面積分概念及性質與計算，兩類曲面積分的關系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關性；

6、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質及計算；了解兩類曲線積分的關系和兩類曲面積分的關系；熟練掌握格林公式的證明及其應用，會利用高斯公式、斯托克斯公式計算一些曲面積分與曲線積分；了解場論的初步知識。

三、主要參考書

《數學分析》（第三版），華東師范大學數學系編，高等教育出版社，2004年。

《數學分析中的典型問題與方法》，裴禮文，高等教育出版社，1993年。

四、主要題型：

填空題，選擇題，計算題，解答題，證明題，應用題。

大綱編制人： 年 月 日

分管院領導： 年 月 日

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