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拉燈問題曾是公務員考試中困惑很多學員的難題，特別是當燈的總數量比較大的時候，如何來確定此類問題最終亮著的或滅掉的燈的數量是此類問題的關鍵。主要從以下幾個題型具體分析解決此類問題的思路。

一、初等拉燈問題---倍數、約數

例1： 走廊里有10盞電燈，從1到10編號，開始時電燈全部關閉。有10個學生依次通過走廊，第1個學生把所有的燈繩都拉了一下，第2個學生把2的倍數號的燈繩都拉了一下，第3個學生把3的倍數號的燈繩都拉了一下……第10個學生把第10號燈的燈繩拉了一下。假定每拉動一次燈繩，該燈的亮與不亮就改變一次。試判定：當這10個學生通過走廊后，走廊里有多少盞燈是亮的?

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：

(1)原來電燈全部關閉，拉一下，亮著;拉兩下，滅了;拉三下，亮著。因此，燈繩被拉動奇數次的燈亮著。

(2)可從最簡單的情況考慮，把拉過某號的學生號碼寫出來尋找規律，如1號是第1個學生拉過，4是1,2，4號拉過，6是1,2，3,4號學生拉過，10是1,2，5,10號學生拉過，也就是第i號燈的燈繩被拉的次數就是i的所有約數的個數。由自然數因數分解的性質知，只有當i是平方數時，i的約數的個數才是奇數，所以只有1，4，9號燈亮著。

本題答案：1，4，9號燈亮著，共有3盞燈。選B。

總結：此類拉燈問題比較簡單，假如把數字擴大看起來會很麻煩，但思路還是相同的，在做題是要擅長歸納總結，提煉出基本模型。下面看一下數字較大的情況：

例2：一間實驗室里有100盞燈，分別編號為1、2、3、……、100號，它們起初都是關著的?，F在有學號為1、2、3、……、100號的學生分別走進這間實驗室。1號學生把所有的燈的開關都拉了一次;2號學生把偶數號的燈的開關又都拉了一次;3號學生把倍數是3的號數的燈的開關都拉了一次;4號學生把倍數是4的號數的燈的開關都拉了一次;……當這100個學生全部走進了實驗室之后，最后亮著的燈有多少盞?( )

A.4 B.6 C.8 D.10

分析：

(1) 原來電燈全部關閉，拉一下，亮著;拉兩下，滅了;拉三下，亮著。因此，燈繩被拉動奇數次的燈亮著。

(2) 思路同例1，所有的平方數的燈亮著。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，10盞燈亮著。

選D。

例3：現在有1000盞燈，全亮，每個燈都由1個拉線開關控制。然后拉開關，規則：

先拉一下1的倍數的開關。(也就是說每個燈都得拉一下)，然后拉2的倍數的開關……

……最后拉1000的倍數的開關，問最后有幾盞燈是亮的?( )

A.21 B.31 C.969 D.979

分析：

(1)原來電燈全亮著，拉一下，滅了;拉兩下，亮著;拉三下，滅了。因此，燈繩被拉動奇數次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數量，再求亮著的燈。

(2)思路同例1，被拉過奇數次的是約數為奇數個的燈，也就是燈號為平方數的燈，

1000以內：最小有1的平方，最大有31的平方。滅掉的燈有31盞，因此亮著燈有1000-31=969盞。

(3)注意：看清本題要求，不能選31，正確答案選C。

(二)拉登難題—三集合容斥原理型

例4： 有1000盞亮著的燈，各有一個拉線開關控制著?，F按其順序編號為1、2、3、4、5······1000，然后將編號為2的倍數的燈線拉一下，再將編號為3的倍數的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的電燈有多少盞?( )

A.468 B.499 C.501 D.532

分析：

(1) 原來電燈亮著，拉一下，滅了;拉兩下，亮著;拉三下，滅了。因此，燈繩被拉動奇數次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數量，再求亮著的燈。

(2) 注意：此題目拉燈的方法不同前三個例題。編號為2的倍數，3的倍數，5的倍數的燈一次都拉。可以據此，看做是三集和問題。

(3) 三個圓圈分別代表：上圓---編號為2的倍數的燈，有500盞;左圓---編號為3的倍數的燈，有333盞燈，右圓---編號為5的倍數的燈，有200盞。其燈的亮或滅情況見圖，

(4) 數據計算：即能被2又能被3整除的有1000/6=166個;同理，能被2,5整除的有200個，能被3,5整除的有66個，能同時被2.3.5整除的有33個。請學員把每部分的數據填到上圖中，圖中四部分滅的燈有：上圓：500-166-100+33=267;左圓：333-166-66+33=134;右圓：200-100-66+33=67;中心滅：33，四部分滅著的燈共有：267+134+67+33=501，所有亮著燈有1000-501=499.選B。

(5) 注意看清題目，501為易錯選項。

拉燈問題，題目本身看起來操作繁瑣，但是其中蘊含的數學道理不難，我們希望學員們，熟練掌握此類型題目的解決思路，熟能生巧。

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