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學院：理學院

加試科目：實變函數

一、集合

考查內容

1．集合及其運算。

2．集合的勢。

3．n維空間中的點集。

考查要求

1．熟練掌握集合的并、交、差（補）運算和對偶原理；掌握上極限、下極限的定義及其等價表述。

2．掌握映射、對等、集合勢等概念，會用Bernstein 定理討論集合的勢，會比較集合勢的大小。

3．掌握可數集概念與性質，會證[0,1]點集不可數，掌握具有連續勢的集，冪集及其勢。

4. 掌握聚點、內點、邊界點、導集、閉包、開集、閉集、完備集的概念與相關性質。

5. 了解直線上開、閉集及完備集的構造，了解Cantor集。

二、測度論

考查內容

1．外測度與可測集。

2．Lebesgue可測集的結構。

考查要求

1．理解掌握(L) 外測度概念與性質，知道可列集的測度為零，區間的測度等于其體積。

2．理解可測集的 Caratheodory 條件，可測集的概念與性質。

3．了解 型集、 型集以及波雷爾集的定義，掌握可測集類、可測集與開集、閉集的關系及可側集結構；了解當 時， 中必有不可測集存在。

三、可測函數

考查內容

1．可測函數的定義及其性質。

2．可測函數的逼近定理。

考查要求

1．掌握可測函數概念及等價表述，掌握可測函數對代數、極限運算封閉等重要性質；

掌握命題在點集幾乎處處成立概念；掌握簡單函數及函數在點集連續的概念。

2．掌握可測函數列幾乎處處收斂與一致收斂的關系；掌握Egoroff 定理。

3．掌握可測函數結構，Lusin 定理。

4．掌握依測度收斂、幾乎處處收斂及（基本）一致收斂三者的關系。

四、Lebesgue積分

考查內容

1．可測函數的積分。

2．Lebesgue積分的極限定理。

3．Fubini定理。

考查要求

1．理解簡單函數的Lebesgue積分、一般可測函數的Lebesgue積分及無界集上的Lebesgue積分的概念。

2．掌握Lebesgue積分的基本性質并會應用基本性質計算。

3．理解Lebesgue積分的三大定理（Levi定理、Fatou引理及Lebesgue控制收斂定理），會應用Lebesgue積分的三大定理證明和計算。

4．理解Lebesgue積分與黎曼積分的區別與聯系。

5．了解(L)積分的幾何意義，會陳述并應用重積分化累次積分的Fubini 定理。

6．掌握絕對連續函數概念；(L)不定積分與絕對連續函數的關系；Newton-Leibniz公式成立的充要條件。

參考書目：（選擇其一）

1.《實變函數論與泛函分析》，曹廣福編，第三版（上冊），高等教育出版社，2011；

2.《實變函數論與泛函分析》，夏道行等編，第二版，高等教育出版社，2009；

3．《實變函數論》，江澤堅編，第二版，高等教育出版社，2001；

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