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考試科目名稱：數學分析

科目代碼：601

一.極限與連續

考試內容： 數列極限、函數極限、函數的連續性和一致連續性、閉區間上連續函數的性質。

考試要求：

(1) 掌握函數的特殊性質：奇偶性、單調性、周期性、有界性等;

(2) 掌握各種極限的定義( 與 語言)以及如下性質與重要定理： 唯一性、有界性、保號性以及四則運算、單調有界定理、Cauchy收斂準則、迫斂性(兩邊夾法則、夾擠原則)原理、兩個重要極限;

(3) 掌握數列極限與函數極限的無窮大(小)量的基本概念與基本性質;

(4) 掌握連續性的概念及間斷點的分類，掌握初等函數的連續性;

(5) 掌握閉區間上連續函數的如下基本性質：有界性、最值性、介值性(零點定理)、一致連續性。

二.一元函數微分學

考試內容：導數與微分及其運算法則、三個微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式、函數單調性、凸性與拐點、極值與最值。

考試要求：

(1) 理解連續、可導、可微等概念及其相互關系，理解導數的幾何意義、函數極值點與極值、凸性、拐點等概念，會用導數研究函數的單調性與極值性，會用二階導數研究函數的凸性與拐點;

(2) 掌握(高階)導數微分的四則運算與復合函數求導運算法則以及高階導數的萊布尼茲公式，掌握左、右導數的概念以及分段函數求導方法，掌握導函數的介值定理(達布定理);

(3) 掌握微分中值定理及其在根的判定、不等式、不定式極限(洛必達法則)等方面的應用;

(4) 掌握泰勒公式及其在極限、極值點判定等方面的應用;

(5) 掌握極值與最值的求法、凸性的等價定義以及凸性在不等式證明等方面的應用。

三.實數的完備性

考試內容：上(下)確界、區間套、聚點、開覆蓋。

考試要求：

(1)掌握確界、聚點、區間套、開覆蓋等概念;

(2)理解關于實數完備性的六大基本定理及其證明思想;

(3)會用實數完備性定理，特別是用確界定理與閉區間套定理證明簡單的分析問題。

四.一元函數積分學

考試內容：不定積分、定積分、換元法與分部積分法、牛頓萊布尼茲公式、變上限積分、積分中值定理、定積分在幾何中的應用、無窮積分、瑕積分。

考試要求：

(1) 掌握原函數、不定積分的概念及其基本性質;

(2) 熟記不定積分的基本公式，掌握換元積分法和分部積分法及其常用積分計算技巧，會求初等函數、有理函數和三角有理函數的不定積分;

(3) 掌握定積分的概念、可積條件、可積函數類;

(4) 掌握定積分的性質，熟練掌握微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法以及常用積分計算技巧，掌握積分中值定理及其應用;

(5) 掌握變限積分的性質與求導方法;

(6) 能用定積分計算平面圖形的面積、弧長、旋轉體的體積與側面積;

(7) 理解廣義積分收斂的概念、Cauchy收斂準則，掌握廣義積分斂散性的比較判別法、柯西判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。

五.無窮級數

考試內容：數項級數、絕對收斂和條件收斂、判別法、函數項級數、一致收斂、冪級數、收斂半徑、收斂域、(冪級數)泰勒級數、傅立葉級數。

考試要求：

(1) 理解數項級數斂散性的概念，掌握數項級數的基本性質;

(2) 掌握正項級數的比較判別法、根式判別法和積分判別法;

(3) 掌握一般項級數的萊布尼茲判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法;

(4) 掌握函數項級數(函數列)一致收斂性的M-判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法, 掌握函數項級數(函數列)的分析性質(連續性、可微性、可積性);

(5) 掌握冪級數收斂半徑與收斂域的概念與求法、掌握冪級數的基本性質，會求冪級數(級數)的和函數(和)，能夠將函數展開為冪級數;

(6) 會將函數按要求展開成傅立葉級數(余弦級數、正弦級數)。

六.多元函數微分學

考試內容：多元函數的極限與連續、全微分、(高階)偏導數、方向導數、泰勒公式、隱函數求導及幾何應用。

考試要求：

(1) 掌握多元函數極限、偏導數、全微分、方向導數的概念及其求法;

(2) 掌握高階偏導數的計算、簡單多元函數泰勒公式的展開;

(3) 掌握多元函數的極值、條件極值的概念及其判別方法;

(4) 掌握隱函數與隱函數組求導與求偏導方法及其幾何應用。

七.含參變量積分

考試內容：含參變量正常積分，含參變量反常積分、伽馬函數、貝塔函數。

考試要求：

(1) 掌握含參變量正常積分的分析性質;

(2) 掌握含參變量反常積分的一致收斂性及判別法;

(3) 掌握含參變量反常積分的分析性質;

(4) 掌握伽馬函數與貝塔函數的性質與相互關系;

八.重積分、曲線積分和曲面積分

考試內容：重積分、第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。

考試要求：

(1)理解重積分、第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分的概念、基本性質與幾何意義;

(2)掌握二重積分與三重積分的常用計算方法、常用坐標變換以及一般坐標變換;

(3)掌握第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分的計算;

(4)會用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式處各種積分計算問題。

(5)了解重積分、第一(二)型曲線積分、第一(二)型曲面積分之間的聯系。

參考書目：數學分析，《數學分析》(第三版)(上、下)，華東師范大學數學系編，高等教育出版社，2001.6