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考試科目：數學分析

代碼：601

考試基本要求

考察考生掌握《數學分析》的基本內容和方法的熟練程度。

考試基本內容

考查目標

l 系統的理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握研究分析領域的基本方法，基本上掌握數學分析的思想和論證方法。

l 具有抽象思維能力、邏輯推理能力、具備較熟練的演算技能和初步的應用能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

考試內容

第一章 實數集與函數

1實數：實數及性質;絕對值與不等式.

2數集 確界原理：區間與鄰域;有界集與無界集;上確界與下確界，確界原理.

3函數概念：函數定義;函數的幾種常用表示;函數四則運算;復合函數;反函數;初等函數.

4具有某些特征的函數：有界函數，無界函數;單調函數，單調遞增(減)函數，嚴格單調函數，單調函數與反函數;奇函數與偶函數;周期函數，基本周期.

第二章　數列極限

1極限概念：數列，通項;數列極限定義，數列的收斂與發散性;無窮小數列.

2收斂數列的性質：唯一性;有界性;保號性;保不等式性;迫斂性;四則運算;歸結原則.

3數列極限存在的條件：單調有界定理;柯西收斂準則.

第三章　函數極限

1函數極限的概念：函數極限的幾種形式;左、右極限.

2函數極限的性質：唯一性;局部有界性;局部保號性;保不等式性;迫斂性;四則運算.

3函數極限存在的條件：歸結原則(Heine定理);柯西準則.

4兩個重要極限： ; .

5無窮小量與無窮大量：無窮小量與階的比較、高階無窮小量、同階無窮小量、等價無窮小量;無窮大量;曲線的漸近線(斜漸近線、水平漸近線與垂直漸近線).

第四章 函數連續

1 函數連續性概念：函數的點連續性、左(右)連續性概念與極限之間的關系;間斷點及其分類[第一類間斷點(可去間斷點，跳躍間斷點)，第二類間斷點];區間上的連續函數.

2 連續函數的性質：連續函數的的局部性質(局部有界性、局部保號性、四則運算、復合函數的連續性);有界閉區間上連續函數的基本性質(有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致連續性定理);反函數的連續性.

3 初等函數的連續性：基本初等函數的連續性;初等函數的連續性.

第五章 導數與微分

1導數概念：導數定義、單側導數;導函數;導數的幾何意義.

2求導法則：導數的四則運算;反函數導數;復合函數的導數(鏈式法則、對數求導法);基本導數法則與公式.

3參變量函數的導數.

4高階導數：萊布尼茨公式.

5微分：微分的概念;微分運算法則;高階微分;微分在近似計算中的應用.

第六章 微分中值定理及其應用

1拉格朗日中值定理和函數的單調性：羅爾定理與拉格朗日定理;單調函數.

2柯西中值定理和不定式極限：柯西中值定理;不定式的極限.

3泰勒公式：帶有佩亞諾余項的泰勒公式;帶有拉格朗日余項的泰勒公式;在近似計算上的應用.

4函數的極值與最值：極值判別;最大值與最小值.

5函數的凸性與拐點：凸函數與凹函數;嚴格凸函數與嚴格凹函數;拐點.

6函數作圖：函數作圖的一般程序.

7方程的近似解：牛頓切線法.

第七章　實數完備性

1實數完備性六個等價定理：閉區間套與閉區間套定理;聚點與聚點定理;有限覆蓋與有限覆蓋定理;確界定理;單調有界定理;柯西收斂準則.

2閉區間上連續函數整體性質的證明：有界性定理;最大、最小值定理;介值定理;一致連續性定理.

3上極限與下極限：最小聚點與下極限;最大聚點與上極限.

第八章 不定積分

1不定積分概念與基本積分公式：原函數與不定積分;基本積分表;不定積分的線性運算法則.

2換元積分法與分部積分法：第一換元法與第二換元法;分部積分法.

3有理函數和可化為有理函數的不定積分：有理函數的積分;部分分式;幾類可化為有理函數的積分.

第九章　定積分

1定積分的概念：問題的提出;定積分的定義.

2牛頓—萊布尼茲公式.

3可積條件：可積的必要條件;達布上(下)和;上積分與下積分;可積的充要條件;可積函數類.

4定積分的性質：定積分的基本性質;積分(第一)中值定理.

5微積分學基本定理 定積分計算(續)：變限積分與原函數的存在性;積分(第二)中值定理;定積分的換元積分法和分部積分法.

第十章　定積分的應用：微元法;平面圖形面積計算;已知平行截面面積求體積;平面曲線弧長與曲率;旋轉曲面的面積;定積分在物理中的某些應用(液體靜壓力、引力、功與平均功率等).

第十一章　反常積分

1反常積分概念：無窮限反常積分與收斂的定義;瑕點;無界函數反常積分(瑕積分)與收斂的定義.

2無窮限反常積分的性質與收斂判別：無窮限反常積分的性質;絕對收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.

3瑕積分的性質與收斂判別：瑕積分的性質;絕對收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.

第十二章　數項級數

1級數的斂散性：數項級數斂散性概念;級數收斂的柯西收斂準則與收斂級數的若干性質.

2正項級數：正項級數收斂性的一般判別原則;比式判別法與根式判別法;積分判別法與拉貝判別法.

3一般項級數：交錯級數與萊布尼茲判別法;絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質;阿貝爾判別法與狄利克雷判別法.

第十三章　函數列與函數項級數

1一致收斂性：函數列及其一致收斂性概念與判別法;函數項級數及其一致收斂概念與判別法.

2一致收斂的函數列與函數項級數的性質：連續性;可微(導)性;可積性.

第十四章　冪級數

1冪級數：冪級數的收斂半徑、收斂區間與收斂域;冪級數的性質;冪級數和函數的連續性、逐項可導(微)、逐項可積問題.

2函數的冪級數展開：泰勒級數(麥克勞林級數);幾種常見初等函數的冪級數展開.

3歐拉公式.

第十五章　傅里葉級數

1傅里葉級數：三角函數與正交函數系;傅里葉級數與傅里葉系數;以 為周期函數的傅里葉級數;收斂定理;周期延拓;奇延拓與偶延拓;正弦級數與余弦級數.

2以 為周期的函數的展開式：以 為周期的函數的傅里葉級數;奇函數與偶函數的傅里葉級數.

3收斂定理的證明.

第十六章　多元函數極限與連續

1平面點集與多元函數：平面點集與平面點集的完備性定理;二元函數的概念;多元函數的概念.

2二元函數的極限：二元函數極限概念;二元函數極限判別法與累次極限.

3二元函數的連續性：二元函數連續性概念及其性質;全增量與偏增量;有界閉域上連續函數的整體性質.

第十七章　多元函數的微分學

1可微性：可微性與全微分;偏導數;可微性條件;切平面的定義;可微性幾何意義及其應用;近似計算.

2多元復合函數微分法：多元復合函數求導法則;鏈式法則;多元復合函數的全微分.

3方向導數與梯度.

4泰勒定理與極值問題：高階偏導數;多元函數的中值定理與泰勒公式;極值問題;黑賽(Hesse)矩陣.

第十八章　隱函數定理及其應用

1隱函數：隱函數概念;隱函數存在性與可微性定理;反函數存在定理.

2隱函數組：隱函數組定理;反函數組與坐標變換;雅可比(Jacobi)行列式.

3隱函數(組)定理的應用：平面曲線的切線與法線;空間曲線的切線與法平面;曲面的切平面與法線.

4條件極值與拉格朗日乘數法.

第十九章　含參量積分

1含參量正常積分：含參量正常積分的概念;連續性、可微性與可積性問題.

2含參量反常積分：一致收斂性及其判別法;含參量反常積分的性質(連續性、可微性與可積性).

3歐拉積分： 函數及其性質; 函數及其性質.

第二十章　曲線積分

1第一型曲線積分：第一型曲線積分的定義及其性質、計算.

2第二型曲線積分：第二型曲線積分概念及性質、計算.

3兩類曲線積分的聯系.

第二十一章　重積分

1二重積分概念：平面圖形的面積;二重積分的定義及其存在性;二重積分的性質.

2二重積分的計算：二重積分與累次積分;換元積分法(極坐標變換與一般變換).

3格林公式 曲線積分與路徑無關性.

4三重積分：三重積分的概念;三重積分計算、三重積分與累次積分;三重積分換元積分法：柱坐標變換，球坐標變換與一般坐標變換.

5重積分應用：曲面的面積;重心坐標;轉動慣量.

第二十二章　曲面積分

1第一型曲面積分：第一型曲面積分的概念與計算.

2第二型曲面積分：曲面的側;第二型曲面積分的概念與計算.

3高斯公式與斯托克斯公式.

4場論初步：場的概念;梯度場;散度場;旋度場.

參考書

《數學分析》(第四版)，華東師范大學數學系編，高等教育出版社，出版時間：2010.

ISBN: 9787040295665

題型及分布

計算題 約50%

證明題與概念題 約50%