考試科目：高等代數
代碼： 912
考試基本要求：
考察考生掌握《高等代數》的基本內容和方法的熟練程度。
考試基本內容
(一)多項式
帶余除法、最大公因式、互素的概念與性質;不可約多項式、因式分解定理、重因式、實系數與復系數多項的因式分解，有理系數多項式不可約的判定;多項式函數、多項式的根、有理系數多項式的有理根求法。
(二)行列式
行列式的定義、性質;行列式的子式、代數余子式及展開定理;行列式的計算方法;克萊姆法則;行列式乘法
(三)線性方程組
線性方程組的解法; n維向量組的線性相關性;線性方程組有解的判定定理;線性方程組解法和解的結構
(四)矩陣
矩陣的運算;初等變換與初等矩陣;可逆矩陣;分塊矩陣;矩陣的秩;矩陣的等價、合同、相似、正交相似;矩陣的可對角化問題
(五)二次型
二次型的標準形與合同變換;復數域與實數域上二次型的標準形、規范形;正定二次型、半正定二次型、負定二次型、半負定二次型及相應的矩陣類型
(六)線性空間
線性空間的概念;基、維數與坐標;基變換與坐標變換;子空間及其交與和、直和;線性空間的同構
(七)線性變換
線性映射與線性變換的概念、運算;線性變換的矩陣表示;線性變換(矩陣)的特征多項式、特征值與特征向量;線性變換的值域與核;不變子空間;最小多項式
(八)λ-矩陣
λ-矩陣在初等變換下的標準形;不變因子、矩陣相似的條件;初等因子、若爾當標準形
(九)歐氏空間
向量內積;正交基(組)、標準正交基(組)、Schmidt正交化方法;度量矩陣;正交變換與正交矩陣;正交補;對稱變換與實對稱矩陣;最小二乘法。
參考書
《高等代數》北京大學數學系前代數小組編,王萼芳,石生明修訂, 第四版,高等教育出版社,ISBN:9787040379105，出版時間2013。
題型及分布
計算題: 約50%。
證明題和概念題: 約50%。
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