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考試科目：高等代數(shù)

代碼： 912

考試基本要求：

考察考生掌握《高等代數(shù)》的基本內(nèi)容和方法的熟練程度。

考試基本內(nèi)容

(一)多項(xiàng)式

帶余除法、最大公因式、互素的概念與性質(zhì);不可約多項(xiàng)式、因式分解定理、重因式、實(shí)系數(shù)與復(fù)系數(shù)多項(xiàng)的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的判定;多項(xiàng)式函數(shù)、多項(xiàng)式的根、有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根求法。

(二)行列式

行列式的定義、性質(zhì);行列式的子式、代數(shù)余子式及展開定理;行列式的計(jì)算方法;克萊姆法則;行列式乘法

(三)線性方程組

線性方程組的解法; n維向量組的線性相關(guān)性;線性方程組有解的判定定理;線性方程組解法和解的結(jié)構(gòu)

(四)矩陣

矩陣的運(yùn)算;初等變換與初等矩陣;可逆矩陣;分塊矩陣;矩陣的秩;矩陣的等價(jià)、合同、相似、正交相似;矩陣的可對(duì)角化問題

(五)二次型

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與合同變換;復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形;正定二次型、半正定二次型、負(fù)定二次型、半負(fù)定二次型及相應(yīng)的矩陣類型

(六)線性空間

線性空間的概念;基、維數(shù)與坐標(biāo);基變換與坐標(biāo)變換;子空間及其交與和、直和;線性空間的同構(gòu)

(七)線性變換

線性映射與線性變換的概念、運(yùn)算;線性變換的矩陣表示;線性變換(矩陣)的特征多項(xiàng)式、特征值與特征向量;線性變換的值域與核;不變子空間;最小多項(xiàng)式

(八)λ-矩陣

λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形;不變因子、矩陣相似的條件;初等因子、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

(九)歐氏空間

向量?jī)?nèi)積;正交基(組)、標(biāo)準(zhǔn)正交基(組)、Schmidt正交化方法;度量矩陣;正交變換與正交矩陣;正交補(bǔ);對(duì)稱變換與實(shí)對(duì)稱矩陣;最小二乘法。

參考書

《高等代數(shù)》北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編,王萼芳,石生明修訂, 第四版,高等教育出版社,ISBN:9787040379105，出版時(shí)間2013。

題型及分布

計(jì)算題: 約50%。

證明題和概念題: 約50%。