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604-《高等數學二(自命題)》考試大綱

一、考試性質

《高等數學二(自命題)》是為招收大氣科學和地球物理學兩個一級學科碩士研究生而設置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數學素質，包括對高等數學各項內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。考試對象為參加全國碩士研究生入學考試、并報氣象學、大氣物理學與大氣環境、固體地球物理學、空間物理學等專業的考生。

二、考試要求

要求考生系統地理解高等數學的基本概念和基本理論，掌握高等數學的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

三、考試方法和考試時間

采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

四、試題結構

計算題或證明題。

五、考試內容

（一）函數、極限、連續

1. 函數的基本性質

2. 極限的定義、性質及計算

3. 無窮小、無窮大的定義及比較方法

4. 連續、間斷的定義，閉區間上連續函數的性質

（二）一元函數微分學

1.導數和微分的定義與幾何意義

2. 復合函數、隱函數和參數方程所確定的函數的求導

3. 高階導數、分段函數的導數、微分

4.羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理

5. 函數的極值與最值

6.凹凸性、拐點及漸近線

7. 洛必達法則

（三）一元函數積分學

1. 原函數、不定積分和定積分的概念

2. 不定積分的換元積分法與分部積分法

3.定積分的性質、積分中值定理和牛頓－萊布尼茨公式

4.定積分的換元積分法與分部積分法

5. 有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分

6. 變上限積分函數的導數

7. 廣義積分（無窮限積分、瑕積分）

8. 定積分的應用，包含計算平面圖形的面積、質心、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、截面面積為已知的立體體積。

（四）向量代數和空間解析幾何

1. 向量的運算(線性運算、數量積、向量積、混合積)

2. 投影、方向余弦

3. 平面方程和空間直線方程

4. 平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角與位置關系

5. 點到直線的距離、點到平面的距離

（五）多元函數微分學

1. 二元函數的極限和連續

2. 偏導數存在、可微、偏導數連續的定義與關系

3. 偏導數(多元復合函數、隱函數)和全微分的計算

4. 方向導數與梯度

5. 曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線

6. 多元函數的極值和條件極值

（六）多元函數積分學

1. 二重積分的性質與計算（直角坐標、極坐標）

2. 三重積分的計算（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）

3.兩類曲線積分的計算及關系、格林公式

4.兩類曲面積分的計算及關系、高斯公式、斯托克斯公式

5. 多元函數積分學的應用，包括曲面的面積、物體的體積、曲線的弧長、物體的質量、質心、轉動慣量和功等

（七）無窮級數

1. 常數項級數的基本定義與性質

2. 正項級數判別法

3. 萊布尼茨判別法、任意項級數

4. 冪級數的收斂域、收斂半徑、在收斂區間內的和函數

5. 函數的冪級數展開式

6. 傅里葉級數

（八）常微分方程

1. 微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解的定義

2. 變量分離法、一階線性微分方程的常數變易法、伯努利方程

3. 降階法、全微分方程

4. 線性微分方程解的性質及解的結構定理

5. 二階常系數線性微分方程、歐拉方程