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科目代碼、名稱:665 數(shù)學(xué)分析

專業(yè)類別：■學(xué)術(shù)學(xué)位 □專業(yè)學(xué)位

適用專業(yè): 數(shù)學(xué)

一、基本內(nèi)容

1、函數(shù)與極限

(1)函數(shù)

掌握函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，函數(shù)的運(yùn)算，會求給定函數(shù)的反函數(shù)，熟悉初等函數(shù)的性質(zhì)，熟悉有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的性質(zhì)。

(2)數(shù)列極限

掌握數(shù)列極限的定義，可用 語言證明數(shù)列極限的存在性，不存在性，能求給定數(shù)列的極限，熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列極限存在的條件。

(3)函數(shù)極限

熟悉各種極限定義，可用 語言證明函數(shù)極限的存在性，熟悉函數(shù)極限的性質(zhì)和存在條件，明確無窮小量和無窮大量階的比較，會求給定函數(shù)的極限。

(4)實數(shù)集和實數(shù)完備性

掌握實數(shù)集上下確界概念。熟悉實數(shù)完備性的幾個基本定理，掌握其證明和應(yīng)用。

(5)函數(shù)的連續(xù)性

熟悉函數(shù)連續(xù)的定義，函數(shù)間斷點的分類，掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。掌握一致連續(xù)的概念，能夠證明和函數(shù)連續(xù)性有關(guān)的命題。

2、一元函數(shù)微分學(xué)

(1)導(dǎo)數(shù)

熟悉導(dǎo)數(shù)、左右導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)概念，明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，掌握求導(dǎo)法則，會求初等函數(shù)、分段函數(shù)、參數(shù)方程決定函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)。明確可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，能正確討論函數(shù)的可導(dǎo)性。

(2)微分

掌握微分、高階微分定義，微分的運(yùn)算法則，求微分和高階微分的方法，會利用微分進(jìn)行近似計算。

(3)中值定理與泰勒公式

掌握費馬定理、羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并能利用這些定理證明命題，證明不等式。熟悉幾種類型的泰勒公式。熟悉基本初等函數(shù)的泰勒公式，會將給定函數(shù)泰勒展開。能用泰勒公式進(jìn)行近似計算。

(4)函數(shù)作圖

掌握函數(shù)駐點、拐點、極值、最大最小值、漸近線的求法，熟悉函數(shù)單調(diào)性、凸性的討論，能進(jìn)行函數(shù)作圖。

3、一元函數(shù)積分學(xué)

(1)不定積分

掌握原函數(shù)和不定積分概念，熟練掌握求不定積分的方法。

(2)定積分

熟悉定積分的定義、可積的必要條件和充分條件、常用可積函數(shù)類、定積分的性質(zhì)、定積分的計算。熟練掌握微積分學(xué)基本定理，會求積分變限函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)。掌握無窮積分和瑕積分的收斂判別法、絕對收斂判別法，明確定積分與反常積分性質(zhì)方面的異同。

會用定積分求平面圖形的面積、已知截面面積的立體體積、曲線的弧長、曲率。熟悉微元法。

4、多元函數(shù)及其微分學(xué)

(1)多元函數(shù)的極限與連續(xù)

掌握重極限與累次極限的定義、聯(lián)系與區(qū)別，能熟練討論極限的存在性，會求極限值。

(2)偏導(dǎo)、微分和方向?qū)?shù)

掌握偏導(dǎo)、微分和方向?qū)?shù)的概念、求法，特別是復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)的求法，隱函數(shù)偏導(dǎo)的求法。熟悉可微性條件、幾何意義與應(yīng)用。能熟練討論多元函數(shù)連續(xù)、可微、偏導(dǎo)連續(xù)之間的關(guān)系，能舉出具有其中幾種性質(zhì)而不具有其余性質(zhì)的多元函數(shù)例子。

能利用偏導(dǎo)數(shù)求平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，空間曲面的切平面與法線。熟練掌握條件極值的求法，有界閉區(qū)域上函數(shù)的最大最小值求法。

5、多元函數(shù)積分學(xué)

(1)重積分

熟悉重積分的定義和可積性條件，熟練掌握重積分的計算、交換積分次序方法，會利用重積分計算面積、體積。

(2)曲線積分和曲面積分

掌握第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲面積分的定義、計算方法，兩類曲線積分的關(guān)系，兩類曲面積分的關(guān)系，曲線積分與二重積分的關(guān)系(格林公式)，曲面積分與三重積分的關(guān)系(高斯公式)，曲面積分與曲線積分的關(guān)系(斯托克斯公式)。

6、級數(shù)理論

(1)數(shù)項級數(shù)

掌握級數(shù)、正項級數(shù)、交錯級數(shù)的概念和收斂判別法，明確級數(shù)和數(shù)列的關(guān)系。

(2)函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

掌握函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念、判別法、性質(zhì), 和函數(shù)的連續(xù)性，級數(shù)的逐項可導(dǎo)、逐項可積性。

(3)冪級數(shù)

掌握冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間的求法，熟練掌握函數(shù)的泰勒級數(shù)展開法，注意利用逐項求導(dǎo)和逐項積分的展開方法。

(4)傅里葉級數(shù)

熟悉傅里葉級數(shù)的收斂定理，掌握函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件與方法。

二、考試要求(包括考試時間、總分、考試方式、題型、分?jǐn)?shù)比例等)

考試時間：180分鐘

總分：150分

考試方式：筆試，閉卷

題型、分?jǐn)?shù)比例：計算題約占40%，概念題、證明題約占60%。

三、主要參考書目

1、《數(shù)學(xué)分析》(第三版，上下冊)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著 高等教育出版社 2001或之后版本

2、《數(shù)學(xué)分析》(第一版)歐陽光中、姚允龍、周淵編著 復(fù)旦大學(xué)出版社 2003 或之后版本