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第一部分 考試說明

本《高等代數》考試大綱適用于貴州師范大學數學與計算機科學學院數學專業碩士研究生入學考試。高等代數是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工科專業學生的必修基礎課。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

1考試目的

《高等代數》是我校數學與計算機科學學院招收全日制碩士研究生而設置的具有選拔性質的入學考試科目，其目的是考察學生是否具備本學科各專業碩士研究生學習所要求的水平，為我校數學與計算機科學學院擇優選拔碩士研究生提供依據。

2考試的基本要求

1）要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論；2）掌握高等代數的基本思想和方法；3）要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

3考試形式和試卷結構

1） 答卷方式：閉卷，筆試；所列題目全部為必答題。

2） 答題時間：180分鐘。

3） 試卷成績：150分。

4） 各部分的考查比例：

多項式理論 約10%

行列式、線性方程組、矩陣 約35%

線性空間、線性變換 約30%

歐氏空間、二次型 約15%

綜合題 約10%

5）題型：填空、計算、證明

6）參考書目

[1] 北京大學編《高等代數》，高等教育出版社，2003年7月第3版 .

[2] 張禾瑞，郝鈵新，《高等代數》，高等教育出版社， 2007.

第二部分 考查內容（或知識點）

1 多項式

數域，多項式的帶余除法及整除，最大公因式與互素多項式，因式分解與不可約多項式，重因式，多項式函數與根，復系數與實系數多項式的因式分解，艾森斯坦判別法及應用，一元多項式根與系數的關系及一元多項式有重根的判別式。

2 行列式、線性方程組、矩陣

排列，行列式的定義及性質，行列式按一行（列）展開，代數余子式的計算，低階行列式、高階規律性較強的行列式計算。

消元法，n維向量空間，線性相關性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構。

矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆與伴隨，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊初等矩陣及應用。

3線性空間和線性變換

線性空間、子空間的定義與判定，維數、基與坐標，基變換與坐標變換，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構。

線性變換的定義及運算，線性變換的矩陣，線性變換的特征值、特征向量與矩陣的特征值、特征向量，線性變換與矩陣的對角化，線性變換的值域與核、維數定理，不變子空間，極小多項式。

4歐氏空間和二次型

歐氏空間的定義、基本性質，向量的內積，標準正交基，正交變換與正交矩陣，子空間的正交與正交補，對稱變換與對稱矩陣、實對稱矩陣的標準形。

二次型的矩陣表示，二次型的標準形及標準形的唯一性、慣性定理，二次型的等價與矩陣的合同，用非退化線性替換或正交變換化二次形為標準形，正定、半正定、負定、半負定二次型與正定、半正定、負定、半負定矩陣。

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