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《數學分析》考試大綱

一、考試形式考試采用閉卷、筆答的考試方式。滿分：150分(單科成績)。考試時間：120分鐘。

二、試題難易程度分布較易試題約占50％中等試題約占30％較難試題約占20％

三、題型及題型分值分布單選題約占15％填空題約占25％計算題約占30％證明題約占15％綜合題約占15％

四、內容比例第一章函數與極限約占15％第二章函數的連續性約占5％

第三章導數和微分約占15％

第四章不定積分約占10％

第五章定積分及其應用約占10％

第六章無窮級數約占20％

第七章多元函數的極限與連續約占5％

第八章多元函數微分學約占5％

第九章重積分及其應用約占5％

第十章曲線積分約占10％

五、參考教材

1．華東師大數學系編：《數學分析》，高等教育出版社2001年6月第3版。

2．劉玉璉、傅沛仁編：《數學分析講義》，高等教育出版社1992年6月第3版。

3．張筑生編：《數學分析新講》，北京大學出版社1990年1月第1版。

4．華東師大數學系編：《高等數學》，華東師大出版社2008年3月第2版。

六、考試內容

第一章函數與極限

一、考核的知識點

1．函數概念。

2．具有某些特性的函數。

3．數列極限。

4．函數極限。

二、考核要求

(一)函數的概念

1．掌握函數的定義、表示法及函數的二要素，掌握定義域和一些函數的值域的求法，掌握函數的復合運算。

2．理解函數的四則運算與反函數的概念，掌握反函數的求法。

3．掌握基本初等函數的定義、性質及圖像。

(二)具有某些特性的函數

1．掌握有界函數、單調函數、偶函數、奇函數與周期函數定義，并會用定義判斷函數的類別。

(三)數列極限

1．理解數列極限的定義，會運用定義證明較簡單的問題。

2．理解數列極限的唯一性、有界性、保號性、保序性、迫斂性、四則運算定理、單調有界定理、柯西收斂準則。會運用這些定理證明較簡單的問題。

3．掌握數列極限的計算。

(四)函數極限

1．理解函數極限的定義，理解函數左、右極限的定義，掌握函數極限limf(x)與相應的左、右極限之間的關系，會運用函數極限的定義證明較簡單的問題。

2．理解函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、局部保不等式性。

3．掌握函數極限的四則運算定理、兩邊夾定理、海涅定理、

柯西準則、兩個重要極限：。并

能運用它們求極限。

4．理解無窮小量與無窮大量的定義、性質，掌握無窮小量與無窮大量之間的關系、無窮小量階的比較。會運用等價無窮小量代換求極限。

第二章函數的連續性

一、考核的知識點

1．連續性的概念。

2．連續函數的性質。

3．初等函數的連續性。

二、考核要求’

(一)連續性的概念

1．理解函數連續的定義。理解函數在點x0。處左、右連續的定義，掌握函數在點x0。處左、右連續與函數在點處連續的關系。理解函數在點x0。處有定義、有極限、連續之間的關系。能正確判斷函數的連續區間或間斷點，尤其是分段函數在分段點上的連續性。

2．掌握函數間斷點的分類。

(二)連續函數的性質

1．理解連續函數的局部有界性、局部保號性、四則運算、復合函數的連續性，并能運用它們解決有關問題。

2．掌握閉區間上連續函數的性質(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理，根的存在定理，反函數的連續性)及其簡單運用。

3．理解一致連續的定義，掌握一致連續性定理。

(三)初等函數的連續性

1．理解基本初等函數都是定義域上的連續函數。

2．理解任何初等函數都是在其定義區間上的連續函數。

第三章導數和微分

一、考核的知識點

1．導數的概念。

2．求導法則。

3．高階導數。

4．微分。

5．微分中值定理。

6．導數的應用。

二、考核要求

(一)導數的概念

1．掌握導數的定義、幾何意義。掌握左導數、右導數的定義，掌握函數在點x。的左導數、右導數與在點x。導數的存在性之間的關系。

2．理解可導與連續的關系。

(二)求導法則

掌握基本求導公式，并能熟練運用導數的四則運算法則、復合函數求導法則、反函數求導法則、隱函數求導法則及對數求導法求導數。掌握由參數方程所確定的函數求導數的方法。掌握分段函數求導數的方法。

(三)高階導數

掌握函數二階導數及簡單函數的三階以上導數的求法。

(四)微分

1．掌握微分的定義、基本初等函數的微分公式與微分的運算法則。掌握簡單函數高階微分的求法。

2．理解一元函數可導、可微與連續之間的關系。

(五)微分中值定理

理解費馬定理、羅爾定理、拉格朗日定理的條件和結論，能運用拉格朗日定理證明一些恒等式與不等式。

(六)導數的應用

1．掌握洛必達法則，運用洛必達法則求不定式的極限。

2．了解泰勒公式和麥克勞林公式。

3．掌握函數e“，sinx，COSX，ln(1+x)”的麥克勞林公式，能運用它們求一些簡單函數的展開式。

4．掌握運用導數判定函數單調性、極值、最值的方法。

5．掌握運用函數的單調性證明不等式的方法。

第四章不定積分

一、考核的知識點

1．不定積分概念與基本積分公式。

2．換元積分法與分部積分法。

3．有理函數和可化為有理函數的積分。

二、考核要求

(一)不定積分概念與基本積分公式

理解原函數、不定積分的定義與性質。掌握基本積分表。

(二)換元積分法與分部積分法

掌握第一、第二換元積分法、分部積分法，并能運用它們熟練計算不定積分。

(三)有理函數和可化為有理函數的積分

掌握簡單有理函數的積分和部分可化為有理函數的積分的求法。

第五章定積分及其應用

一、考核的知識點

1．定積分概念。

2．可積的條件，可積函數類。

3．定積分的性質。

4．微積分學基本定理，定積分計算。

5．定積分在幾何上的應用。

6．反常積分。

二、考核要求

(一)定積分概念

理解定積分的定義，掌握定積分的幾何意義。

(二)可積的條件、可積函數類

理解可積的條件，掌握三類可積函數。

(三)定積分的性質

理解定積分的性質：包括線性性質，有限可加性，單調性和積分第一中值定理，并能運用這些性質解決簡單問題。

(四)微積分學基本定理，定積分計算

理解變限積分的定義及原函數存在定理、微積分基本定理，熟練運用牛頓一萊布尼茲公式計算定積分。

掌握定積分的換元積分法和分部積分法，熟練計算定積分。

(五)定積分在幾何上的應用

會運用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積、曲線的弧長、旋轉曲面的面積。

(六)反常積分

理解無窮限反常積分和無界函數反常積分的定義，并運用定義討論這兩類反常積分的收斂性。

第六章無窮級數

一、考核的知識點

1．數項級數的收斂性。

2．正項級數。

3．一般項級數。

4．冪級數。

二、考核要求

(一)數項級數的收斂性

1．了解常數項級數的定義。

2．理解常數項級數收斂、發散的定義，了解級數收斂的性質。

3．掌握幾何級數和P——級數的斂散性。

(二)正項級數

掌握正項級數收斂性判別法：比較原則、比式判別法、根式判別法。熟練地應用比較原則、比式判別法、根式判別法判別正項級數的收斂性。

(三)一般項級數

1．理解交錯級數的定義。會用萊布尼茲判別法判別交錯級數收斂。

2．理解絕對收斂、條件收斂級數的定義及性質。

(四)冪級數

1．了解函數項級數的定義。

2．理解冪級數、冪級數的收斂區間、收斂半徑、收斂域的定義。

3．掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域的求法。理解冪級數的性質。

4．運用冪級數在收斂區間內逐項求導、逐項求積的性質求級數的和函數。

5．運用麥克勞林級數、泰勒級數和已知函數ex，sinx，COSX，ln(1十x)，(1x)’的展開式將函數展開成冪級數。

第七章多元函數的極限與連續

一、考核的知識點

1．二元函數和n元函數。

2．二元函數的極限。

3．二元函數的連續性。

二、考核要求

(一)二元函數和n元函數

1．了解二元函數的定義，掌握二元函數定義域的求法。

2．了解三元函數、四元函數、…、多元函數的定義。

(二)二元函數的極限

理解二元函數重極限和累次極限的定義，掌握求二元函數的重極限與累次極限的方法。

(三)二元函數的連續性

1．理解二元函數連續的定義，運用定義討論簡單二元函數的連續性。

2．了解有界閉域上連續函數的性質。第八章多元函數微分學

一、考核的知識點

1．多元函數的偏導數與全微分。

2．復合函數和隱函數的求導法則。

3．多元函數微分學的幾何應用。

4．多元函數的極值。

二、考核要求

(一)多元函數的偏導數與全微分

1．理解二元函數的偏導數的定義，了解多元函數的偏導數。

2．掌握二元函數的一階、二階偏導數的求法。

3．理解全微分的定義及其存在條件，理解可微、偏導數存在與連續的關系。

(二)復合函數和隱函數的求導法則

1．掌握多元復合函數(最多三元)求偏導數、全微分的方法。

2．掌握隱函數求導數、偏導數的方法。

(三)多元函數微分學的幾何應用

掌握平面曲線的切線與法線方程、空間曲線的切線與法平面方程、空間曲面的切平面與法線方程的求法。

(四)多元函數的極值

掌握二元函數有極值的必要條件、充分條件及求無條件極值、最大值、最小值的方法。

第九章重積分及其應用

一、考核的知識點

1．重積分的概念與性質。

2．二重積分的計算。

3．重積分的幾何應用。

二、考核要求

(一)重積分的概念與性質

理解二重積分的定義與性質、幾何意義，了解三重積分的定義。

(二)二重積分的計算，

掌握二重積分的直角坐標、極坐標計算法。

(三)重積分的幾何應用

掌握用重積分求空間曲面面積的方法。

第十章曲線積分

一、考核的知識點

1．第一型曲線積分。

2．第二型曲線積分。

3．格林公式，第二型曲線積分與路徑無關的條件。

二、考核要求

(一)第一型曲線積分

1．理解第一型曲線積分的定義和性質。

2．掌握第一型曲線積分的計算方法。

(二)第二型曲線積分

1．理解第二型曲線積分的定義和性質。

2．掌握第二型曲線積分的計算方法。

(三)格林公式，第二型曲線積分與路徑無關的條件

掌握用格林公式計算第二型曲線積分的方法。理解曲線積分與路徑無關的條件。掌握求戶(x，y)dz+Q(x，y)dy的原函數的方法。

七、關于考試內容及要求說明

由于各知識點在課程中的地位、作用及知識自身的特點不同，本考試中將對各知識點分別按四個認知層次確定其考核要求。這四個認知層次從低到高依次是：了解、理解、掌握、運用。它們之間是遞升的關系，后者必須建立在前者的基礎上，其含義分別是：

了解：對考試大綱中的知識點有清晰準確的認識并能作出正確的選擇和判斷。

理解：對考試大綱中的知識點有一定的理解，理解它與有關知識點的聯系與區別，并能給出正確的表述和解釋。

掌握：是在理解的基礎上，會用大綱中各部分少數幾個知識點解決簡單的計算、證明或應用問題。

運用：是指能夠綜合運用多個知識點經過分析、計算或推導解決較復雜的問題。

了解、理解、掌握、運用四個認知層次的試題在試卷中所占比例依次約為：5％、45％、30％、20％。