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一、余數的概念

被除數減去商和除數的積，結果叫做余數。

被除數=除數×商+余數

正余數：大于0小于除數

負余數：正余數減去除數

二、同余概念

1.同余的概念：

兩個整數a和b，除以一個大于1的自然數m所得余數相同，就稱a和b關于m同余。

例：7÷3……1;25÷3……1;7和25關于3同余。

2.同余特性

余數的和決定和的余數;

余數的積決定積的余數;

余數的冪決定冪的余數。

三、應用

1、日期問題

例1：甲乙丙，三個人去圖書館，甲每15天去一次，乙每16天去一次，丙每17天去一次，三個人在星期一的時候相遇了，問下次相遇是星期幾?

【解析】下次相遇需要經歷的天數為15、16、17的最小公倍數15×16×17，一個星期7天，15×16×17除以7找余數，15÷7=2……1，16÷7=2……2，17÷7=2……3，則15×16×17除以7的余數為1×2×3=6，那再往后過6天，周一過六天就是周日。

2、解不定方程

例2：求解滿足3x+y=10的x、y，x、y均為正整數。

【解析】3x除以3整除，10除以3余數為1，則y除以3余數應該為1。當y=1時，x=3;當y=4時，x=2;當y=7時，x=1。

例3：今有桃95個，分給甲、乙兩個工作組的工人吃，甲組分到的桃有2/9是壞的，其他是好的，乙組分到的桃有3/16是壞的，其他是好的。甲、乙兩組分到的好桃共有( )個。

A.63 B.75 C.79 D.86

【解析】甲組桃為9的倍數，乙組桃為16的倍數，設甲、乙兩組桃分別為9x、16y(x、y均為正整數)，則9x+16y=95。9x除以3整除，95除以3余數為2，則16y除以3余數為2，其中16除以3余數為1，所以y除以3余數為2。當y=2時，x=7，即甲組有桃63個，乙組有32個，故所求為63×(1-2/9)+32×(1-3/16)=75，選擇B。