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一、參考書目

《數學分析》(第三版，上下冊)，華東師范大學數學系編，高等教育出版社

二、考試內容范圍

第一部分 集合與函數

1、集合

實數集 、有理數與無理數的調密性，實數集的界與確界、確界存在性定理、閉區間套定理、聚點定理、有限復蓋定理。平面上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界(無界)集、平面上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列等。

2、函數 函數、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數概念，反函數與逆變換，反函數存在性定理。初等函數以及與之相關的性質。

第二部分 極限與連續

數列極限

數列極限的 定義，收斂數列的基本性質(極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質)

數列收斂的條件(Cauchy準則、迫斂性、單調有界原理、數列收斂與其子列收斂的關系)，極限 及其應用。

函數極限

各種類型的一元函數極限的定義( 、 語言 )，函數極限的基本性質(唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質、迫斂性)，歸結原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限： 及其應用，計算一元函數極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號о與O的意義。多元函數重極限與累次極限概念、基本性質，二元函數的二重極限與累次極限的關系。

函數的連續性

函數連續與間斷的概念，一致連續性概念。連續函數的局部性質(局部有界性、保號性)，有界閉集上連續函數的性質(有界性、最值可達性、介值性、一致連續性)。

第三部分 微分學

1、一元函數微分學

(i)導數與微分

導數概念及其幾何意義，可導與連續的關系，導數的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性。

(ii)微分學基本定理及其應用

Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理， Taylor公式(Peano余項與Lagrange余項)及應用，函數單調性判別法，極值、最值、曲線凹凸性討論。

2、多元函數微分學

(i)偏導數與全微分

偏導數、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續之間的關系，復合函數的偏導數與全微分，一階微分形式不變性，方向導數與梯度，高階偏導數，混合偏導數與順序無關性，二元函數中值定理與Taylor公式。

(ii) 隱函數定理與多元微分的應用

隱函數存在定理的應用，隱函數組存在定理的應用，隱函數(組)求導方法，反函數組與坐標變換。幾何應用(平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線)。極值問題研究(必要條件與二元極值的充分條件)，條件極值與Lagrange乘數法的應用。

第四部分 積分學

一元函數積分學

(i)不定積分

原函數與不定積分概念、不定積分的基本計算方法(直接積分法、換元法、分部積分法等)。

(ii)定積分

定積分概念與幾何意義 ，可積條件(必要條件、充要條件： )，可積函數類。定積分性質(關于區間可加性、不等式性質、絕對可積性、定積分第一中值定理) 變上限積分函數，微積分基本定理，N-L公式及定積分計算，定積分第二中值定理應用。

(iii)廣義積分

無限區間上的廣義積分概念、Canchy收斂準則，絕對收斂與條件收斂。 非負時 的收斂性判別法(比較原則、柯西判別法)， Abel判別法，Dirichlet判別法。無界函數廣義積分概念及其收斂性判別法。

(iv)定積分的應用

微元法思想。幾何應用(平面圖形面積、已知截面面積函數的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉體體積)，其他應用。

多元函數積分學

(i)重積分與含參量積分

二重積分概念及其幾何意義，二重積分的計算(化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換)。三重積分概念，三重積分計算(化為累次積分、柱坐標、球坐標變換)。重積分的應用(體積、曲面面積、重心、轉動慣量等)。含參量正常積分及其連續性、可微性、可積性，運算順序的可交換性。含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續性、可微性、可積性，運算順序的可交換性。

(ii) 曲線積分與曲面積分

第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質、計算，第二型曲線積分概念、性質、計算。Green公式，平面曲線積分與路徑無關的條件。曲面的側、第二型曲面積分的概念、性質、計算。奧高公式、Stoke公式。兩類線積分、兩類面積分之間的關系。

第五部分 級數

1、數項級數

級數及其斂散性，級數的和，Canchy準則，收斂必要條件，收斂級數基本性質。正項級數收斂的充要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式。交錯級數的Leibniz判別法。一般項級數的絕對收斂、條件收斂性 ，Abel判別法，Dirichlet判別法

2、函數項級數

函數列與函數項級數的一致性收斂性，Cauchy準則，一致收斂性判別法(M-判別法、Able Dirichlet判別法)。一致收斂函數列、函數項級數的性質及其應用。

冪級數

冪級數概念、Abel定理、收斂半徑與區間，冪級數的一致收斂性，冪級數的逐項可積性、可微性及其應用，冪級數各項系數與其和函數的關系。函數的冪級數展開。

三、試卷結構及題型比例

試卷題型：計算題、證明題和綜合題

試卷滿分：150分

四、考試時間和考試方式

考試時間：180分鐘(3小時);

考試方式：閉卷筆試;所列題目全部為必答題。