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《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一、考試內(nèi)容概述

函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)和常微分方程的基本概念、基本理論及其基本運(yùn)算方法和基本運(yùn)算能力；導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用；微分中值定理(指羅爾中值定理和拉格朗日中值定理)及其應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)在求未定式極限及在求函數(shù)的極值、最值和作圖等方面中的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)方面中的應(yīng)用；積分在幾何和經(jīng)濟(jì)方面中的應(yīng)用。

二、考試形式

考試方式閉卷筆試

考試滿(mǎn)分150分(單科成績(jī))

考試時(shí)間120分鐘

三、試題難易程度分布

較易試題約占50％

中等試題約占30％

較難試題約占20％

四、題型及題型分值分布

單項(xiàng)選擇題約占32％

填空題約占32％

計(jì)算題約占42％

解答題約占28％

應(yīng)用題約占16％

五、內(nèi)容比例

函數(shù)、極限與連續(xù)約占18％

導(dǎo)數(shù)與微分約占22％

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用約占18％

不定積分約占12％

定積分(含廣義積分)及其應(yīng)用約占20％

常微分方程初步約占10％

六、參考教材

1．趙樹(shù)螈主編：《微積分》(第三版)，中國(guó)人民大學(xué)出版社 2008年版。

2．左艷芳、王躍主編：《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》(第1版，上冊(cè))，云南大學(xué)出版社2009年版。

3．同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編：《高等數(shù)學(xué)》(第六版，上冊(cè))  (普通高等教育“十一五”21國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材)，高等教育出版社 2004年版。

七、考試內(nèi)容及要求

第一部分  函數(shù)、極限與連續(xù)

[函數(shù)]

(一)考試內(nèi)容

1．函數(shù)的概念：函數(shù)的定義；函數(shù)的表示法；分段函數(shù)。

2．函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性；有界性；奇偶性；周期性。

3．反函數(shù)：反函數(shù)的定義；反函數(shù)的圖像。

4．函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。

5．基本初等函數(shù)：常量函數(shù)；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù)

6．初等函數(shù)。

(二)考試要求

1．理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義、表達(dá)式及函數(shù)值；會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會(huì)作出簡(jiǎn)單分段函數(shù)的圖像。

2．理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性，并會(huì)判斷所給函數(shù)的類(lèi)別。

3．了解函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)之間的關(guān)系

(定義域、值域和圖形)，并會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)。

4．理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，特別是熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。

5．掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其圖像。

6．了解初等函數(shù)的概念。

7．會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。

[極限]

(一)考試內(nèi)容

1．?dāng)?shù)列極限的概念：數(shù)列定義；數(shù)列極限的定義。 2．?dāng)?shù)列極限的性質(zhì)：唯一性；有界性；四則運(yùn)算準(zhǔn)則；兩

邊夾準(zhǔn)則；單調(diào)有界準(zhǔn)則。

3．函數(shù)極限的概念：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x。處的極限和左、右

極限的定義以及它們之間的關(guān)系；當(dāng)x→∞、x→+∞和x→-∞

時(shí)函數(shù)f(x>極限的定義及它們之間的關(guān)系。

4．函數(shù)極限的定理：唯一性定理；四則運(yùn)算定理。

5．無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念：無(wú)窮小量的定義；無(wú)窮大量的定義；無(wú)窮小量的性質(zhì)；無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系；兩個(gè)無(wú)窮小量階的比較。

6．兩個(gè)重要極限：及它們的運(yùn)用。

(二)考試要求

1．理解極限的概念(對(duì)極限定義中的“c—N”、“s—6”和“ε—M”等的描述不作要求)；了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分與必要條件。

2．了解極限的有關(guān)性質(zhì)；熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則。

3．理解無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念；掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系；會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較 (高階、低階、同階和等價(jià))；會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。

4．理解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)NU(兩邊夾準(zhǔn)NIj和單調(diào)有界準(zhǔn)則)。

5．熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

6．掌握求極限的基本方法：利用基本極限、極限的運(yùn)算法則、無(wú)窮小量的性質(zhì)、兩個(gè)重要極限以及運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限的方法。

[連續(xù)］

(一)考試內(nèi)容

1．函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)和左、右連續(xù)的定義以及它們之間的關(guān)系；函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件；函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念；函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)。

2．函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則；復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；反函數(shù)的連續(xù)性。

3．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理；最大值和最小值定理；介值性定理(包括零點(diǎn)定理，即根的存在定理)。

4．初等函數(shù)的連續(xù)性。

2．會(huì)根據(jù)導(dǎo)數(shù)及其幾何意義求曲線上一點(diǎn)處的切線方程和法線方程。

3．熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法(重點(diǎn))；會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

4．掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法；會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5．理解高階導(dǎo)數(shù)的概念；掌握求二階導(dǎo)數(shù)及簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的方法。

[微分]

(一)考試內(nèi)容

1．微分：微分的定義；微分的幾何意義；可微、可導(dǎo)與連續(xù)三者之間的關(guān)系。

2．微分公式：df(x)=f'(x)dx或dy=y'dx。

3．微分法則與微分的基本公式：微分的四則運(yùn)算法則；微分的基本公式(主要是基本初等函數(shù)的微分公式)；一階微分形式不變性。

(二)考試要求

1．理解函數(shù)的微分概念及其幾何意義；掌握微分法則；了解函數(shù)的可微、可導(dǎo)與連續(xù)三者之間的關(guān)系。

2．熟練掌握微分的四則運(yùn)算法則和基本公式，并能熟練地計(jì)算函數(shù)的微分。

3．了解一階微分形式不變性。

第三部分  導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(一)考試內(nèi)容

1．中值定理：羅爾(Rdle)中值定理；拉格朗日(La- Fange)中值定理。

2．洛必達(dá)(L’Hospital)法則。

3．函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、極值和最值。

4．曲線的凹凸性和拐點(diǎn)。

5．曲線的垂直漸近線與水平漸近線。

(二)考試要求

1．理解羅爾中值定理和拉格朗日中值定理的內(nèi)容及其幾何意義；會(huì)用羅爾中值定理證明方程根的存在性；會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式。

2，熟練掌握用洛必達(dá)法則求型與型未定式極限的方法 (其他未定式不作要求)。

3．理解函數(shù)的單調(diào)性和極值的概念，并熟練掌握利用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法。

4。在掌握求函數(shù)極值點(diǎn)方法的基礎(chǔ)上，會(huì)求函數(shù)的最值或最值點(diǎn)以及會(huì)據(jù)此解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

5．理解曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的概念，并掌握利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性和求曲線拐點(diǎn)的方法。

6．會(huì)求曲線的垂直漸近線與水平漸近線。

7．會(huì)描繪簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形(包括垂直漸近線和水平漸近線)。

第四部分  不定積分

(一)考試內(nèi)容

1．不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義；原函數(shù)存在定理。

2．不定積分的性質(zhì)與公式：不定積分的基本性質(zhì)；不定積分的基本積分公式。

3．換元積分法：第一換元積分法(湊微分法)；第二換元積分法(直接換元積分法)。

4．分部積分法。

5．一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分。

(二)考試要求

1．理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系；了解原函數(shù)存在定理。

2．熟練掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式。

3．熟練掌握不定積分的第一換元法；掌握第二換元法(限于簡(jiǎn)單的根式代換和三角代換)。

4．熟練掌握不定積分的分部積分法。

5．會(huì)求簡(jiǎn)單有理分式函數(shù)的不定積分。

第五部分  定積分(含廣義積分)及其應(yīng)用

[定積分(含廣義積分)]

(一)考試內(nèi)容

1．定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義；可積條件。

2．定積分的性質(zhì)。

3．定積分的計(jì)算：變上限的定積分；牛頓一萊布尼茨 (Newton—Leibniz)公式；定積分的換元積分法；定積分的分部積分法。

4．廣義積分：無(wú)窮區(qū)間的廣義積分；無(wú)界函數(shù)的廣義積分 (即瑕積分)。

(二)考試要求

1．理解定積分的概念；熟練掌握定積分的幾何意義；了解可積的條件。

2．掌握定積分的基本性質(zhì)。

3．理解變上限定積分是變上限的函數(shù)；掌握對(duì)變上限的定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

4．熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式。

5．熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法。

6．理解無(wú)窮區(qū)間廣義積分的概念，并掌握其計(jì)算方法和記住廣義積分dx收斂的條件。

7．了解無(wú)界函數(shù)廣義積分的概念，并記住廣義積分(瑕積分)dx收斂的條件。

8．掌握在直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積；會(huì)用定積分解決一些簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題。

[定積分的應(yīng)用]

(一)考試內(nèi)容

1．面積和體積：平面圖形的面積；旋轉(zhuǎn)體的體積。

2．經(jīng)濟(jì)應(yīng)用：定積分在經(jīng)濟(jì)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

(二)考試要求

1．掌握在直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

2．會(huì)用定積分解決一些簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題(如求經(jīng)濟(jì)總量、總收益、總利潤(rùn)等)。

第六部分  常微分方程初步

[一階微分方程]

(一)考試內(nèi)容

1．微分方程的概念：微分方程的定義、階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2．可分離變量的微分方程。

3．一階線性微分方程：一階線性齊次微分方程；一階線性非齊次微分方程。

(二)考試要求

1．理解微分方程的定義；理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2．掌握可分離變量的微分方程的解法。

3．熟練掌握一階線性微分方程的解法(主要是公式解法)。

4．會(huì)應(yīng)用微分方程的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

[可降階微分方程]

(一)考試內(nèi)容

1．y(n)=f(x)型的方程。

2．Y''=f(x，y')型的方程。

(二)考試要求

1．會(huì)用降階法解丁”’y(n)=f(x)型的方程。

2．會(huì)用降階法解y''=f(x，y')型的方程。

[二階線性微分方程]

(一)考試內(nèi)容

1．二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

2．二階線性常系數(shù)齊次線性微分方程。

3．二階線性常系數(shù)非齊次線性微分方程。

(二)考試要求

1．了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

2．熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

3．了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法[自由項(xiàng)限定為，f(x)=Pn(x)eax，其中Pn(X)為x的n次多項(xiàng)式，a為實(shí)常數(shù)]。

4．會(huì)應(yīng)用微分方程的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。