在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫(xiě)的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿(mǎn)全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對(duì)各位表示熱誠(chéng)歡迎!”來(lái)找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見(jiàn)自己的胡子長(zhǎng)了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
理發(fā)師悖論與羅素悖論是等價(jià)的：如果把每個(gè)人看成一個(gè)集合，這個(gè)集合的元素被定義成這個(gè)人刮臉的對(duì)象。那么，理發(fā)師宣稱(chēng)，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己?這樣就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論。反過(guò)來(lái)的變換也是成立的。
所以羅素悖論用數(shù)學(xué)式表達(dá)是這樣子的：設(shè)性質(zhì)P(x)表示“x不屬于A”，現(xiàn)假設(shè)由性質(zhì)P確定了一個(gè)類(lèi)A——也就是說(shuō)“A={x|x?A}”。那么問(wèn)題是：A屬于A是否成立?首先，若A屬于A，則A是A的元素，那么A具有性質(zhì)P，由性質(zhì)P知A不屬于A;其次，若A不屬于A，也就是說(shuō)A具有性質(zhì)P，而A是由所有具有性質(zhì)P的類(lèi)組成的，所以A屬于A。
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