例1：一個(gè)數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個(gè)數(shù)最小是幾？
題中3、4、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
為了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因?yàn)椋?74>60，所以，274－60×4=34，就是所求的數(shù)。
例2：一個(gè)數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個(gè)數(shù)最小是幾？
題中3、7、8三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
為了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因?yàn)椋?229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的數(shù)。
例3：一個(gè)數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。
題中5、8、11三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
為了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因?yàn)椋?499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的數(shù)。
例4：有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，
這個(gè)年級(jí)至少有多少人？
題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
為了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因?yàn)椋?877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的數(shù)。
例5：有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人？
題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
為了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因?yàn)椋?508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的數(shù)。
（例5與例4的除數(shù)相同，那么各個(gè)余數(shù)要乘的“數(shù)”也分別相同，所不同的就是最后兩步。）
“中國(guó)剩余定理”簡(jiǎn)介：
我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中，記載這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?！庇矛F(xiàn)在的話來(lái)說(shuō)就是：“有一批物品，三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)余二個(gè)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)余三個(gè)，七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)余二個(gè)，問(wèn)這批物品最少有多少個(gè)。”這個(gè)問(wèn)題的解題思路，被稱為“孫子問(wèn)題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點(diǎn)兵”等等。
那么，這個(gè)問(wèn)題怎么解呢？明朝數(shù)學(xué)家程大位把這一解法編成四句歌訣：
三人同行七十（70）稀，五樹梅花廿一（21）枝，
七子團(tuán)圓正月半（15）， 除百零五（105）便得知。
歌訣中每一句話都是一步解法：第一句指除以3的余數(shù)用70去乘；第二句指除以5的余數(shù)用21去乘；第三句指除以7的余數(shù)用15去乘；第四句指上面乘得的三個(gè)積相加的和如超過(guò)105，就減去105的倍數(shù)，就得到**了。即： 70×2＋21×3＋15×2－105×2=23
《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”題雖然開創(chuàng)了一次同余式研究的先河，但由于題目比較簡(jiǎn)單，甚至用試猜的方法也能求得，所以尚沒(méi)有上升到一套完整的計(jì)算程序和理論的高度。真正從完整的計(jì)算程序和理論上解決這個(gè)問(wèn)題的，是南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶。秦九韶于公元1247年寫成的《數(shù)書九章》一書中提出了一個(gè)數(shù)學(xué)方法“大衍求一術(shù)”，系統(tǒng)地論述了一次同余式組解法的基本原理和一般程序。
從《孫子算經(jīng)》到秦九韶《數(shù)書九章》對(duì)一次同余式問(wèn)題的研究成果，在19世紀(jì)中期開始受到西方數(shù)學(xué)界的重視。1852年，英國(guó)傳教士偉烈亞力向歐洲介紹了《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”題和秦九韶的“大衍求一術(shù)”；1876年，德國(guó)人馬蒂生指出，中國(guó)的這一解法與西方19世紀(jì)高斯《算術(shù)探究》中關(guān)于一次同余式組的解法完全一致。從此，中國(guó)古代數(shù)學(xué)的這一創(chuàng)造逐漸受到世界學(xué)者的矚目，并在西方數(shù)學(xué)史著作中正式被稱為“中國(guó)剩余定理”。
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